پس برای هر x∈R^n ، اگر x∉K ، آن گاه f(x)=0 ، همانطور که می دانیم (طبق قضیه هاینه برل ) مجموعه های بسته و کراندار در R^n فشرده می باشند، بنابراین اگر محمل f کراندار باشد می گوییم f دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوسته f که محمل فشرده دارند را با C_0 (R^n) نمایش می دهیم. به طور مشابه C_0 (Ω) مجموعه توابع پیوسته روی Ω می باشند که محمل آنها یک زیر مجموعه فشرده از Ω است. همچنین C_0^k (Ω) مجموعه توابعی هستند که همه مشتقات تا مرتبه kام آنها روی Ω پیوسته بوده و محمل آنها زیر مجموعه فشرده از Ω می باشند.
تعریف 1. 1. 6 (تابع آزمون) :
تابع f تعریف شده روی مجموعه باز غیر تهی Ω⊂R^n را یک تابع آزمون نامند هرگاه f∈C^∞ (Ω) و با محمل فشرده باشد.
تعریف 1. 1. 7 (مجموعه های اندازه پذیر و توابع اندازه پذیر) :
فرض کنیم Ω یک دامنه در R^n و μ اندازه لبگ در R^n باشد. مجموعه هایی که روی آنها μ خوش تعریف است را مجموعه های اندازه پذیر گویند. تابع f را که برای آن مجموعه {x∈R^n :f(x)<α} برای هر αی حقیقی یک مجموعه اندازه پذیر باشد تابع اندازه پذیر می نامیم.
تعریف 1. 1. 8 (توابع کاراتئودوری)[14] :
فرض کنید Ω⊆R^n یک دامنه باشد. تابع
{█(f : Ω×R^n ⟶R@( x , t )⟶f ( x , t ) )┤
را یک تابع کاراتئودوری نامند هرگاه
نگاشت t ⟶f (x , t ) برای تقریباٌ همه x ها در Ω روی R پیوسته باشد.
نگاشت x ⟶f (x , t ) برای هر t در R^n اندازه پذیر باشد.
تعریف 1. 1. 9 (فضاهای L^p) [24]:
فرض کنید Ω⊆R^n یک دامنه ی کراندار و p یک عدد حقیقی مثبت باشد و همچنین f یک تابع اندازه پذیر و تعریف شده روی Ω باشد. تعریف می کنیم:
〖∥f∥〗_p=〖(∫_Ω 〖|f|〗^p dx)〗^(1/p) , f∈L^p (Ω)
در این صورت:
L^p (Ω)= {f: Ω ⟶ R | ∫_Ω 〖|f|〗^p dx < +∞ و پذیر اندازهf}
‖f‖_p را نرم L^p تابع f می نامیم. در L^p (Ω) توابعی را یکی می گیریم که به طور تقریبا همه جا با هم برابر باشند یعنی اندازه ی نقاطی که با هم برابر نیستند برابر صفر باشد. می گوییم f=0 در L^p (Ω) اگر f(x)=0 برای تقریبا هر x∈Ω. می توان نشان داد که L^p (Ω) یک فضای برداری است.
قضیه 1. 1. 10 [24]:
اگر 1<p<+∞ و f_n→f در L^p (X)، آنگاه زیر دنباله ای از دنباله {f_n} مانند {f_(n_i )} موجود است به طوریکه:
f_(n_i ) (x)→f(x) a.e. on X
قضیه 1. 1. 11 (نامساوی هولدر) [24]:
اگر 1<p<+∞ و u∈L^p (Ω) و v∈L^q (Ω) و 1/p+1/q=1 آنگاه uv∈L^1 (Ω) و نیز :
‖uv‖_1≤‖u‖_p ‖v‖_q
تعریف 1. 1. 12(انتگرال پذیری موضعی تابع f روی دامنه Ω):

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب(به صورت کاملا تصادفی و به صورت نمونه) با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود-این مطالب صرفا برای دمو می باشد

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

مجموعه همه ی توابع اندازه پذیر تعریف شده روی قلمرو Ω که انتگرالشان تعریف شده و متناهی باشد را توابع انتگرال پذیر می نامیم. اغلب اوقات با توابعی که روی هر زیر مجموعه فشرده Ω انتگرال پذیر هستند رو به رو می شویم و لزومی ندارد که روی خود Ω انتگرال پذیر باشند. مجموعه ی همه چنین توابعی را با L_loc^1 (Ω) نشان می دهیم. چون توابع پیوسته روی مجموعه های فشرده مقدار بیشینه و کمینه خود را می گیرند، بنابراین می توان نتیجه گرفت که :
{█(C_0 (Ω)⊂L^1 (Ω)@C(Ω)⊂L_loc^1 (Ω))┤
لم 1. 1. 13(فاتو)[24]:
هرگاه h_n:Ω→[0, ∞] به ازای هر عدد صحیح مثبت n اندازه پذیر باشد، آنگاه:
∫_Ω 〖 〖((lim)┬(n→∞)〗⁡inf  〗⁡〖h_n)〗 dμ≤(lim)┬(n→∞)⁡inf⁡〖∫_Ω h_n dμ 〗
تعریف 1. 1. 14(سوپریمم اساسی):
فرض کنید u یک تابع اندازه پذیر روی Ω باشد. می گوییم u به طور اساسی کراندار است، اگر یک ثابت α∈R وجود داشته باشد به طوری که رابطه |u(x)|≤α به طور تقریبا همه جا در Ω برقرار باشد. به بزرگترین کران پایین (اینفیمم) چنین α هایی سوپریمم اساسی می گوییم و آن را با نماد زیر نشان می دهیم:
ess sup⁡|u(x)|=〖inf 〗⁡{α : μ({x:|u(x)|>α})=0}
تعریف 1. 1. 15(فضای L^∞ (Ω)):
فرض کنیم L^∞ (Ω) فضای برداری متشکل از همه ی توابعی باشد که سوپریمم اساسی آنها کراندار است. نرم در این فضا به صورت زیر تعریف میشود:
‖u‖_∞=ess sup|u(x)| x∈Ω
تعریف 1. 1. 16(فضای L_loc^p (Ω)):
برای 1<p<∞ ، L_loc^p (Ω) عبارت است از توابع حقیقی مقدار و اندازه پذیر u روی Ω به طوری که برای هر زیر مجموعه فشرده K از Ω داشته باشیم:
∫_K |u(x)|dx<∞
قضیه 1. 1. 17(قضیه همگرایی تسلطی لبگ)[24]:
اگر Ω⊂R^n مجموعه ای اندازه پذیر و {f_n} دنباله ای از توابع اندازه پذیر بر Ω باشد به طوریکه
(i) f_n □(→┴( a.e. ) f) x∈Ω
(ii) تابع نامنفی g∈L^1 موجود باشد به طوریکه به ازای هر n داشته باشیم |f_n |≤g
آنگاه f اندازه پذیر است و
lim┬(n→∞)⁡〖∫_Ω f_n dμ〗=∫_Ω fdμ
تعریف 1. 1. 18[24]:
یک خانواده F از توابع انتگرال پذیر روی X به طور یکنواخت روی X انتگرال پذیر است اگر برای هر ε>0 داده شده یک δ>0 ای وجود داشته باشد به طوری که اگر A⊆X و μ(A)<δ آنگاه برای هر f∈F داشته باشیم:
∫_X |f|dμ<ε
1. 2 : فضاهای باناخ و هیلبرت
قضیه 1. 2. 1 ]) 24 ([
برای دنباله ی{a_n }⊆ [-∞ , +∞] موارد زیر برقرار است
( lim)┬(n → + ∞)⁡〖sup a_n 〗≥(lim)┬(n → + ∞)⁡〖inf a_n 〗
lim┬(n →+∞)⁡〖sup⁡(-a_n) 〗= -lim┬(n → +∞)⁡〖inf a_n 〗
دنباله ی { an}همگراست اگر و تنها اگر
(lim)┬(n →+∞)⁡〖sup a_n = (lim)┬(n →+∞)⁡〖inf a_n 〗 〗= (lim)┬(n → +∞)⁡〖a_n 〗
تعریف 1. 2. 2 ( مجموعه محدب )
فرض کنید Χیک فضای برداری باشد مجموعه ی Α⊆Xرا محدب نامیم هرگاه x,y∈A و1 0≤λ≤ نتیجه دهد که:
λx+(1-λ)y∈A .
تعریف 1. 2. 3 ( تابع محدب )
فرض کنید X یک فضای برداری و مجموعه M⊆Xمحدب و تابع f:X→Rمفروض باشد، f را روی M محدب نامیم هرگاه x,y∈M و 0≤λ≤1 نتیجه دهد که :
f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)
اگر نامساوی اخیر، اکید باشد، f را اکیداً محدب روی M نامیم.
تعریف1. 2. 4
فرض کنید X یک فضای نرمدار باشد. A ⊆X را کراندار گوئیم هرگاه یM>0 وجود داشته باشد که
∀x∈A ∥x∥≤M
تعریف1. 2. 5
فرض کنید فضای نرمدار X ، دنباله ی {x_n }⊆X x∈X , مفروض باشند آنگاه
گوئیم x_n به x همگراست و می نویسیم x_(n )⟶x اگر
∀ε>0 ∃N∈N ; n≥N⟹∥x_n-x∥<ε
به وضوح ، x_(n )⟶x اگر و تنها اگر ∥ x_n- x ∥ ⟶0
گوئیم دنباله { x_n} کوشی است اگر
∀ε>0 ∃N∈N ; m , n≥N⟹∥x_m-x_n∥<ε
تعریف1. 2. 6
فضای نرمدار X را یک فضای باناخ گوئیم هرگاه هر دنباله ی کوشی در آن همگرا باشد.
تعریف1. 2. 7 ] 14 [
فرض کنید X یک فضای برداری 〖∥.∥〗_2,〖∥.∥〗_1،دو نرم روی Xباشد. گوئیم دو نرم 〖∥.∥〗_2,〖∥.∥〗_1 با هم معادلند هرگاه توپولوژی القایی توسط آنها روی X یکی باشد. به عبارت دیگر 〖∥.∥〗_2,〖∥.∥〗_1 معادلند اگر و تنها اگر عددهای حقیقی و مثبت α , β یافت شوند که به ازای هر x∈X
α〖∥x∥〗_(1 )≤ 〖∥x∥〗_2 ≤β〖∥x∥〗_1
مثال1. 2. 8
فضایR^n با نرمهای زیر که نرمهای معادلی روی آن می باشد یک فضای باناخ است.
برایx=( x_1,…,x_n)∈R^n قرار می دهیم.
∥x∥ =( ∑▒〖x_i〗^2 )^(1/2)
〖∥x∥〗_1= ∑_(i=1)^n▒|x_i |
〖∥x∥〗_2=max {|x_i | :i=1,2,…,n}
در واقع 〖∥x∥〗_2 ≤ 〖∥x∥〗_1 ≤n〖∥x∥〗_2 و 〖∥x∥〗_2≤ ∥x∥ ≤√n 〖∥x∥〗_2
تعریف1. 2. 9 ( فضای هیلبرت ) ] 24 [
فضای برداری حقیقیH را یک فضای ضرب داخلی می نامیم اگر تابع〈 , 〉 :H×H⟶R با ویژگی های زیر روی H تعریف شده باشد.
برای هر x,y,z ∈H و α∈R
〈x,y〉 = 〈y,x〉
〈x,x〉 ≥0
〈x+y,z〉 = 〈x,z〉+ 〈y,z〉
〈αx,y〉 = α 〈x,y〉
〈x,x〉 =0 اگر و تنها اگر x=0
موارد زیر از (1) تا (5) نتیجه می شود
〈0,y〉 =〈x,0〉 = 〈0,0〉 =0
نگاشت {█(φ_y :H ⟶ R @φ_y (x)= 〈x,y〉 )┤ برای هرy∈H یک تابعک خطی روی H است و φ_y را معمولاً با 〈 ,y〉 نشان می دهند.
اگر برای هرx∈H تعریف کنیم ∥x∥ =〈x,x〉^(1/2) (∥x∥ را ریشه ی دوم نامنفی 〈x,x〉 در نظر می گیریم ) آنگاه ∥.∥یک نرم روی H است.
فضای ضرب داخلی H به همراه نرم تعریف شده در ( 8 ) را یک فضای هیلبرت نامیم هرگاه (H,∥.∥) یک فضای باناخ باشد.
برای هر x,y∈H از (1) تا (4) نتیجه می شود
|〈x,y〉|≤ ∥x∥∥y∥
مثال1. 2. 10
R^n به همراه ضرب داخلی تعریف شده در زیر یک فضای هیلبرت است. هر گاه x=( x_1,… ,x_n ) و y=(y_1, …, y_n) نقاط R^n باشند قرار می دهیم.
〈x,y〉 := ∑_(i=1)^n▒x_i .y_i
توجه شود که
∥x∥=〈x,x〉^(1/2)=(∑_(i=1)^n▒x_i^2 )^(1/2)
قضیه1. 2. 11
فرض کنید X_n,…,X_1 فضاهای برداری و X=X_1×…×X_n آنگاه
X همراه با اعمال زیر یک فضای برداری است،
برای x =( x_1,…, x_n)∈X و y =( y_1,…, y_n)∈X و اسکالر α تعریف می کنیم.
x+y :=( x_1+ y_1,…,x_n+ y_n)
α.x :=(αx_1 , … , αx_n)
اگر (X_i,〖∥.∥〗_2 ) (i=1,2,…,n) فضاهای نرمدار باشند آنگاه نرم های زیر که همگی روی X معادلند X را به یک فضای نرمدار تبدیل می کنند.
برای x =( x_1,…, x_n)∈X قرار می دهیم.
∥x∥=(∑_(i=1)^n▒〖∥x_i∥〗_i^2 )^(1/2)
〖∥x∥〗_1 := ∑_(i=1)^n▒〖∥x_i∥〗_i
〖∥x∥〗_2 :=max⁡{〖∥x_i∥〗_i :i =1,2,…, n}
در واقع
〖∥x∥〗_2 ≤ ∥x∥ ≤√n 〖∥x∥〗_2
〖∥x∥〗_2≤〖∥x∥〗_1≤〖n∥x∥〗_2
که بنابه 7.2.1 نشان می دهد این نرمهای روی X معادلند.
بخصوص X با ناخ است اگر و تنها اگر X_i ها (i=1,2,…,n) باناخ باشند.
اگر هر X_i با ضرب داخلی(i=1,…,n) 〈 , 〉_(x_i )یک فضای هیلبرت باشد،
آنگاه X با ضرب داخلی زیر یک فضای هیلبرت می شود
برای x =( x_1,…, x_n)∈X و y =( y_1,…, y_n)∈X قرار می دهیم:
〈x,y〉= ∑_(i=1)^n▒〈x_i,y_i 〉_(x_i )
و در این حالت داریم :
〈x,x〉^(1/2) =〖(∑_(i=1)^n▒〖〈x_i,x_i 〉)〗〗^(1/2)=〖(∑_(i=1)^n▒〖∥x_i∥〗_i^2 )〗^(1/2)=‖x‖
تعریف1. 2. 12
تبدیل خطی T:X⟶Y بین دو فضای نرمدار X و Y را کراندار گوئیم هرگاه M>0 ی یافت شود که
∀x∈X ∥Tx∥ ≤M∥x∥
قضیه1. 2. 13 ] 24 [
برای تبدیل خطی T از فضای نرمدار X به توی فضای نرمدار Y موارد زیر معادلند
T کراندار است
T پیوسته است
T در صفر پیوسته است
تعریف1. 2. 14 ] 23 [
برای فضاهای نرمدار Yو Xقرار می دهیم
B(X,Y)≔ {T:X→Y |باشد کراندار و خطی T}
آنگاه B(X,Y)با اعمال زیر یک فضای برداری است :
T_1,T_2,T∈B(X,Y) , α∈F ( F =C یا R ) , x ∈X
(T_1+T_2 )(x)= T_1 x+ T_2 x ,
(αT)(x)= αTx
همچنین مقادیر تابع Sup ∥Tx∥ برای ∥x∥ ≤1 و تابع Sup ∥Tx∥ برای ∥x∥ =1 روی B(X,Y) یکسان بوده و می توان آنرا نرم تعریف کرده و با نماد ∥T∥ نمایش داد
همچنین B(X,Y) یک فضای باناخ است اگر و تنها اگر Y باناخ باشد.
اگر قرار دهیم X^* :=B (X,F) آنگاه X^* یک فضای باناخ استX^* را فضای دوگان X می نامیم.
تذکر1. 2. 15
واضح است که تبدیل خطی Tکراندار است اگر و تنها اگر∥T∥ < +∞ و در این حالت داریم
∀x∈X ∥Tx∥ ≤ ∥T∥ ∥x∥
تعریف1. 2. 16
فضاهای نرمدار X و Yرا یکریخت نامیده و با X≅Y نمایش می دهیم
هرگاه یک تبدیل خطی T:X⟶Y وجود داشته باشد که T یک به یک و پوشا بوده و T^(-1) و T هر دو پیوسته باشند.
تعریف1. 2. 17
فرض کنید X یک فضای نرمدار باشد گوئیم دنباله ی {x_n }⊆X به طور ضعیف به x∈X همگراست اگر برای هر f∈X^* ، f(x_n )⟶f(x)
تذکر1. 2. 18
اگر H یک فضای هیلبرت باشد وx_n ⟶x به طور ضعیف ، آنگاه برای هر y ∈H داریم:
〈x_n,y 〉= φ_y (x_n )→φ_y (x)= 〈x,y 〉
قضیه1. 2. 19 ] 14 [
اگر فضای نرمدار X، دنباله ی {x_n }⊆Xو x∈X مفروض باشند آنگاه
اگر x_n⟶x به طور معمولی (∥x_n-x∥ →0) آنگاه x_n⟶x به طور ضعیف
هر دنباله ی همگرای ضعیف کراندار است. به علاوه اگر x_n⟶x به طور ضعیف آنگاه
∥x∥ ≤(lim)┬(n → ∞)⁡inf⁡〖∥x_n∥〗
قضیه1. 2. 20 ] 14 [
هر دنباله ی کراندار در یک فضای انعکاسی شامل یک زیر دنباله ی به طور ضعیف همگرا است.
تعریف1. 2. 21 ( نیمه پیوسته ی پائینی ضعیف ) [4]
فرض کنیدX یک فضای نرمدار باشد. تابع f :X ⟶ R را نیمه پیوسته ی پائینی ضعیف نامیم
اگر برای هر دنباله ی {x_n }⊆Xکه به طور ضعیف به x∈X همگراست داشته باشیم
f(x)≤ ( lim inf⁡f)┬(n ⟶ ∞)⁡〖(x_n)〗
تابع نرم ، نیمه پیوسته ی پائینی ضعیف است.
تعریف1. 2. 22
فرض کنید X یک فضای نرمدار باشد. تابع f :X ⟶ R را اجباری گوئیم هرگاه
lim┬(∥x∥→ +∞)⁡〖f (x)= + ∞〗
تعریف1. 2. 23
عملگر خطی T از فضای نرمدار X به فضای نرمدار Y را فشرده نامیم اگر برای هر زیر مجموعه ی کراندار Μ از Χ ، (T(M)) ̅⊆Y فشرده باشد.
تعریف1. 2. 24 (نشاندن)[14]
فرض کنید Y و X فضاهای نرمدار و X⊆Y باشد گوئیم X به طور پیوسته درY نشانده می شود هرگاه تابع همانی I:X→Yپیوسته باشد ، یعنی M>0ی یافت شود که برای هر x∈X :

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

‖x‖_Y≤M‖x‖_X
همچنین گوئیم X به طور فشرده در Yنشانده می شود هرگاه عملگر نشاندنI ، فشرده باشد.
تعریف1. 2. 25 (مشتق)
اگر فضاهای نرمدار Y و X و مجموعه بازU ⊆X و تابع f:U⊆ X ⟶Yمفروض باشند گوئیم f در نقطه ی a ∈U مشتق پذیراست اگر T∈B (X,Y)یافت شود که
lim┬(h⟶0)⁡〖(∥f(a+h)- f(a)- T(h)∥)/(∥h∥)〗=0

چنین T ای را در صورت وجود با f^’ (a) یا Df (a)نمایش می دهیم.
گوئیم f روی U مشتق پذیر است هرگاه f در هر نقطه ی a ∈Uمشتق پذیر باشد.
در این حالت نگاشت
{█(Df=f^’:U ⟶B(X,Y)@a ⟶Df(a))┤
را نگاشت مشتق f می نامیم.
تعریف1. 2. 26
هرگاه f روی U مشتق پذیر باشد. Df :U⟶ B(X,Y) یک تابع است و چون B(X,Y) یک فضای نرمدار است، مشتق Df روی U با معنی است. اگر Df روی U مشتق پذیر باشد تعریف می کنیم.
D^2 f=D(Df):U ⟶ B(X, B(X,Y))
و آنرا مشتق مرتبه ی دوم f می نامیم. مشتق مرتبه ی n- ام f که با D^n f به طور استقرایی و به صورت D^n f=D(D^(n-1) f) تعریف می شود.
قضیه1. 2. 27 ( توابع برشی ) [15]
برای هر مجموعه ی فشرده K⊆R^n یک تابع 〖〖 φ∈C〗_0〗^∞ (Ω)وجود دارد که
0≤φ≤ 1
به ازای هر φ(x)=1 , x ∈K
چنین تابعی را یک تابعبرشی وابسته به مجموعه ی فشرده ی K می نامیم.
قضیه1. 2. 28 ]14[
هرگاه Ω⊆R^n یک دامنه ی کراندار و اندازه پذیر لبگ باشد و ، 1≤p≤ +∞ آنگاه L^p (Ω) یک فضای باناخ است.
تعریف1. 2. 29
برای دامنه ی کراندار و اندازه پذیر لبگ Ω⊆R^n و 1≤p≤ +∞ تعریف می کنیم
L_loc^p (Ω)= ⋂_(فشرده K ⊆ Ω)▒〖L^p (K)〗
عناصر L_loc^1 (Ω) را توابع انتگرال پذیر موضعی روی Ω می نامیم.

1. 3. قضایا و تعاریفی از آنالیز غیر خطی و فضاهای سوبولف
تعریف1. 3. 1 ( عملگرهای بیضوی )
فرض کنید Ω یک دامنه هموار و کراندار در R^n باشد. مساله زیر را در نظر بگیرید :
(2.1) {█(Lu(x)=f(x) x ∈ Ω@Bu(x)= 0 x ∈ ∂Ω)┤
که در آن عملگر دیفرانسیلی L به صورت زیر تعریف می شود
(3.1 ) {█(Lu= 〖-a〗_ij (∂^2 u)/(〖∂x〗_i 〖 ∂y〗_i )+ b_i ∂u/〖∂x〗_i + u@Lu= 〖-∑_(i,j=1)^n▒a〗_ij ∂_i ∂_j+ ∑_(i=1)^n▒a_i ∂_i+ C)┤
عملگر فوق را در نقطه x=( x_1, … , x_n) بیضوی گوئیم اگر و تنها اگر ضریب مثبت μ (x) موجود باشد بطوریکه
∑_(i,j=1)^n▒〖a_ij ξ_i ξ_j≥ μ(x) ∑_(i=1)^n▒ξ_i^2 〗
برای هر بردار حقیقی( ξ_1 , … , ξ_n ) ، عملگر L را بر Ω بیضوی گوئیم هرگاه در هر نقطه از Ω بیضوی باشد، همچنین این عملگر را بیضوی یکنواخت می نامیم اگر در هر نقطه از Ω بیضوی باشد و یک ثابت μ_0 موجود باشد به طوریکه μ(x)≥ μ_0 برای هر x∈ Ω .
عملگر بیضوی یکنواخت L را از نوع دیورژانس گوئیم اگر
L(u)= ∂/〖∂x〗_i (a_ij ∂u/〖∂x〗_i )+ Cu
با ضرائب کراندار a_(i,j)= a_(j, i) .
عملگر مرزی B بصورت زیر تعریف می شود :
B= b_0+ b_1 ∂/∂n
که در آن ∂/∂n بیانگر مشتق در جهت بردار نرمال خارجی بر Ω می باشد در حالتی که
b_0= 1 , 〖 b〗_1=0
معادله فوق را یک معادله بیضوی با شرط مرزی دیریکله ، و اگر
b_0= 0 , 〖 b〗_1=1
معادله فوق را یک معادله بیضوی با شرط مرزی نیومن ، و اگر
b_0∈R , 〖 b〗_1=1
معادله فوق را یک معادله بیضوی با شرط مرزی نوع سوم یا رابین گوئیم.
تعریف1. 3. 2 ( بردار گرادیان )
اگر uدر R^n تعریف شده باشد. گرادیان uدر x=( x_(1 ), … , x_n) برداری در R^n است که به صورت
∇u=grad u=( ∂u/〖∂x〗_1 , …, ∂u/〖∂x〗_n )
تعریف می شود
تعریف1. 3. 3 ( مشتق در جهت بردار واحد )
فرض کنید تابع u در R^n تعریف شده باشد مشتق u در جهت بردار واحد n ⃗در نقطه p_0∈ R^n به صورت زیر تعریف می شود :
〖∂u/∂n|〗_(p_0 )=〖( ∇ u )〗_(p_0 ) . n ⃗
که در آن ( . ) نشانگر ضرب داخلی دو بردار در فضای R^n است.
تعریف1. 3. 4 ( دیورژانس )
اگر u=( u_1 , …, u_n) یک میدان برداری باشد دیورژانس u در x=( x_(1 ), … , x_n) به صورت
div u= ∇.u=〖∂u〗_1/〖∂x〗_1 + …+ 〖∂u〗_n/〖∂x〗_n = ∑_(j=1)^n▒〖∂u〗_j/〖∂x〗_j
قضیه1. 3. 5 ( دیورژانس ) (] 24 [)
فرض v ⃗ یک میدان برداری روی Ω ⊆ R^n باشد بطوریکه v ⃗ ∈ C^1 (Ω , R^n)
آنگاه
∫_Ω div v ⃗dx= ∫_∂Ω v ⃗.n ⃗ds
که در آن n ⃗ یک بردار نرمال برونسوی عمود بر سطح Ω∂ ، ds نمایش دهنده عنصر (n-1) بعدی در Ω∂ می باشد به ویژه اگر u یک تابع در C^2 (Ω ̅) باشد با جای گذاری در رابطه فوق داریم
∫_Ω ∆u dx=∫_Ω∂ ∇u. n ⃗ ds=∫_Ω∂ ∂u/∂n ds
فضاهای سوبولف
فرض کنید α=(α_1 , …, α_n ) یک n تایی از اعداد صحیح و غیر منفی α_i باشد در این صورت α یک چند اندیس نامیده می شود و تعریف می کنیم.
|α|= α_1+ …+ α_n α!=(α_1 !)…(α_n !)
فرض کنید u : Ω ⟶ R تابعی هموار باشد. برای هر x=(x_1 , …, x_n ) ∈ Ω تعریف می کنیم :
x^α= 〖x_1〗^α1… 〖x_n〗^αn
در این صورت مشتق نسبی مرتبه α ام u برابر است با :
D^α u=(∂/〖∂x〗_1 )^(α_1 )… (∂/〖∂x〗_n )^(α_n ) u= (∂^(|α|) u)/(〖∂x_1〗^(α_( 1) )… 〖∂x_n〗^(α_n ) )
به عنوان مثال تابع α =(1,2 ) , f(x,y) را در نظر می گیریم در این صورت داریم :
|α|=1+2 , D^α f= (∂^3 f)/(〖∂x〗^1 〖∂y〗^2 )
حال اگر α=(α_1 , …, α_n ) , u ∈C^|α| ( Ω ) ، آنگاه خواهیم داشت ([1])
∫_Ω 〖uD〗^α∅ dx=〖( -1 )〗^(|α|) ∫_Ω 〖 (D〗^α u) ∅ dx ; ∀ ∅∈C^|α| (Ω)
تعریف1. 3. 6 ( توان بحرانی سوبولف )
توان p^* که به صورت p^* := PN/(N-KP) تعریف می شود را توان بحرانی سوبولف گویند.
تعریف1. 3. 7 ( مشتق ضعیف )[14]
فرض u ∈ L_loc^1 ( Ω ) و α یک چند اندیس باشد ، یک تابع v ∈ L_loc^1 ( Ω )مشتق ضعیف α- ام u نامیده می شود هرگاه تساوی زیر برقرار باشد.
∫_Ω uD^α∅dx=〖(-1)〗^(|α|) ∫_Ω v ∅ dx ; ∀∅∈C^|α| (Ω)
در این صورت می نویسیم :
D^α u=v
یک تابع را مشتق پذیر ضعیف نامیم ، اگر همه مشتقات ضعیف از درجه اول آن موجود باشد وk مرتبه مشتق پذیر ضعیف نامیم ، اگر همه مشتقات ضعیف از مرتبه نا بیشتر از k برای آن وجود داشته باشند. فضای خطی توابع k مرتبه مشتق پذیر ضعیف را با w^k (Ω) نشان می دهیم. واضح است که
C^k (Ω) 〖⊆W〗^k (Ω).
لم1. 3. 8 ( لم اساسی حساب تغییرات )[14]
فرضw ϵ L_loc^1 (Ω) و برای هر ∅ϵC_0^∞ داشته باشیم ∫_Ω w ∅ dx=0
آنگاه w=0 .
تعریف1. 3. 9 ( فضای سوبولف )
فرض k یک عدد صحیح نامنفی باشد ، 1≤P≤ ∞ ، فضای سوبولف w^(k,p) (Ω) فضای خطی از توابع u ϵ L^p (Ω) می باشد که برای هر 0≤|α|≤kمشتق ضعیف D^α u وجود داشته و به L^P (Ω) متعلق باشد. نرم در w^(k,p) (Ω) به صورت زیر تعریف می شود :
اگر 1≤P< ∞ باشد داریم :
〖∥u∥〗_(k,p) 〖=( ∑_(0≤|α|≤k)▒〖∥D^α u∥〗_(L^p (Ω))^p )〗^(1/p)=〖( ∑_(0≤|α|≤k)▒〖∫|D^α u|^(1/p) dx )〗〗^(1/p)
و اگر p= ∞ باشد داریم :
〖∥u∥〗_(k,∞)= (max)┬(0≤|α|≤k)⁡〖〖∥D^α u∥〗_∞ 〗
w^(k,p) (Ω) تحت نرم فوق یک فضای باناخ است ([1]) . دیگر فضای باناخ یعنی 〖w_0〗^(k,p) (Ω) عبارت است از بستار فضای 〖C_0〗^k (Ω) در w^(k,p) (Ω) ([1] را ببینید ). اگر Ω کراندار باشد فضاهای w^(k,p) (Ω) و 〖w_0〗^(k,p) (Ω) بر هم منطبق نیستند. برای p=2 فضاهای 〖w_0〗^(k,p) (Ω)و〖 w〗^(k,p) (Ω) که به صورت H^k (Ω) و〖H_0〗^k (Ω) نوشته می شوند تحت ضرب داخلی زیر فضاهای هیلبرت خواهند بود.
〈u,v〉 = ∫_Ω ∑_(|α|≤k)▒〖D^α u D^α v dϰ〗
برای شناخت بیشتر و پی بردن به مفاهیم فضای سوبولف w^(k,p) (Ω) موارد زیر مفیدند :
فضای w^(0,p) (Ω) که Ω یک زیر مجموعه باز از R^n می باشد را در نظر می گیریم.
اگر α=(α_1 , …, α_n ) آن گاه مطابق تعریف 0≤|α|≤0 و بنابراین |α|=0 . در نتیجه w^(0,p) (Ω)= L^p (Ω) .یعنی L^p (Ω) حالت خاصی از فضای سوبولف است.
فضای w^(1,p) (Ω) را در نظر می گیریم. مطابق تعریف 0≤|α|≤1 یعنی |α|=0,1 .
از این رو
|α|=0 ⟹ α =( 0 , … , 0) ⟹ D^|α| u= D^0 u=u ϵ L^p (Ω)
|α|=1 ⟹ α =( 0 , 0, … , 1,0… , 0) ⟹ D^|α| u=Du= ∂u/〖∂x〗_i ∈ L^(p ) (Ω)
بنابراین :
〖∥u∥〗_(1,p)=〖( ∫_Ω 〖|u|〗^p dx + ∫_Ω 〖 |∂u/〖∂x〗_1 |〗^p dx +… +∫_Ω 〖 |∂u/〖∂x〗_n |〗^p dx )〗^(1/p)
فضای w^2,2 (Ω) را در نظر می گیریم. طبق تعریف داریم 0≤|α|≤2 پس |α|=0,1,2 از این رو :
|α|=0 ⟹ α =( 0 , … , 0) ⟹ D^|α| u= D^0 u=u ϵ L^p (Ω) ;
■(■(|α|=1 ⟹ α =( 0 , 0, … , 1,0… , 0) ⟹ D^|α| u=Du= ∂u/〖∂ϰ〗_i ∈ L^(p ) (Ω);@ ↓ )@ام-i مولفه)
|α|=2 ⟹ α =( 1,1,0, … , 0) یا α =( 0,0, … , 0,1,1) ⟹D^|α| u= (∂^2 u)/(〖∂x〗_i 〖∂x〗_j ) ∈ L^(2 ) (Ω)
برای هر i,j=1,2,… , n بنابراین :
〖∥u∥〗_2,2=〖( ∫_Ω u^2 dx + ∑_(i=1)^n▒〖〖 (∂u/〖∂x〗_i )〗^2 dx〗+∑_(i,j=1)^n▒〖∫_Ω 〖 ((∂^2 u)/(〖∂x〗_i 〖∂x〗_j ))〗^2 dx〗 )〗^(1/2)
قضیه1. 3. 10 ( نامساوی سوبولف برای p<n) ([1])
فرض کنیم Ω یک دامنه در R^n و 1≤p≤n و q=n/(n-p) باشند ، آنگاه ثابت c=c(n,p) وجود دارد به طوریکه برای هر u∈C^1 (Ω) داریم :
〖∥u∥〗_q≤c〖∥∇u∥〗_p
قضیه1. 3. 11 ( نشاندن سوبولف ) ([1])
فرض کنیم Ω دامنه ای در R^n باشد در این صورت :
اگر p≤q≤ np/(n-p) , p<n ، آنگاه 〖w_0〗^(1,p) (Ω) در L^q (Ω) به طور پیوسته نشانده می شود.
اگر p≤q< ∞ , p=n ، آنگاه 〖w_0〗^(1,p) (Ω) در L^q (Ω) به طور پیوسته نشانده می شود.
اگر Ω , 0≤α≤1-n/p , p>n کراندار باشد، آنگاه 〖w_0〗^(1,p) (Ω) در C^α (Ω) به طور پیوسته نشانده می شود.
تعریف1. 3. 12 ( شرط پالایزاسمایل1 )
فرض کنید H یک فضای هیلبرت حقیقی باشد گوئیم تابعک I :H ⟶ R در شرط پالایزاسمایل در سطحC ، 〖(ps)〗_C ، صدق می کند اگر هر دنباله {w_n }⊂H به طوری که
I (w_n )⟶C ; 〖 ∥I^’ (w_n )∥〗_(H^* ) ⟶0
دارای یک زیر دنباله همگرا باشد.
هرگاه I در شرط 〖(ps)〗_C برای همه C ∈ R صدق کند ، مختصراً می گوئیم I در شرط پالایزاسمایل (ps)صدق می کند.
قضیه1. 3. 13 ( جواب ضعیف )
فرض کنید Lu= – ∂/〖∂x〗_i (a_(i,j) ∂/〖∂x〗_i u)+Cu آنگاه u ∈ 〖w_0〗^(1,p) (Ω) جواب ضعیف معادله Lu=f می باشد هرگاه :
∫_Ω vLu dx= ∫_Ω fv dx; ∀v∈〖w_0〗^(1,p) (Ω)
قضیه1. 3. 14 ( لم مسیر کوهی ) [22]
فرض کنید H فضای هیلبرت و r>0 , F∈ c^2 ( H , R) , e ∈H موجود باشد که :
∥e∥ >r
و
〖inf〗_(∥u∥=r) F(u)>F(0)≥F (e)
و F در شرط پالایزاسمایل در سطح C صدق کند در این صورت Cیک نقطه ی بحرانی F هست.
قضیه1. 3. 15 ( اصل می نی مم ) [22]
فرض کنید Hفضای هیلبرت و F :H → R نیم پیوسته ضعیف پائینی و اجباری باشد در این صورت F روی H از پایین کراندار است و u_0∈H ای موجود است به طوری که :
■(F(u_0 )=min⁡〖F(u)〗@ u∈H)
در واقع Fبه مینیمم خود روی H می رسد.
فصل 2
بررسی شرطهای وجود دستگاههای بیضوی تکین
2. 1 مقدمات
در این پایان نامه با یک کلاس از دستگاههای بیضوی تکین و تباهیده به فرم
{█(-div(h_1 (x)∇u)= b_1 (x) |u|^(r-2) u+ F_u (x,u,v) x∈Ω@-div(h_2 (x)∇v)= b_2 (x) |v|^(r-2) v+ F_v (x,u,v) x∈Ω)┤ (2. 1)
سر و کار داریم که در آن Ω ⊆ R^N برای2 N≥ یک دامنه ی کرانداری با مرز هموارΩ∂ بوده و نیز داریم
(F_u,F_v )=∇F .
در حالت h_1 (x)=h_2 (x)≡1 مساله اخیر به طور فراگیری مورد مطالعه قرار گرفته است؛ که از آن جمله می توان به [29,28,27,15,5,3,1] اشاره کرد.
در [27,5,3,1] دستگاه (2. 1) با b_i های (i=1,2) ثابت مثبت و غیر خطی های محدب-مقعر مورد مطالعه قرار گرفته است.
در حالتی که قسمت غیر خطی F در برخی شرطهای کلی به ازای هر x و u صدق کند برخی نتایج در مورد وجود و چند گانگی جواب در دستگاه (2. 1) بدست آمده است.
به عنوان مثال یکی از شرطهای کلی روی F عبارت است از:

دسته بندی : پایان نامه

پاسخ دهید